Brał ktoś fakturę za egzamin celem wrzucenia do kosztów działalności albo rozliczenia z pracodawca? Jest taka możliwość?

jest wystawiany Rachunek (nie jest to faktura)
Jeśli przelew robiłeś ze swojego konta to rachunek weź na swoje dane (wtedy mają zastosowanie przepisy o podnoszenie kwalifikacji lub wysłanie pracownika na egzamin)
Jeśli przelew robi firma to rachunek na jej dane.

Co do rozliczenia księgowe rachunku niestety nie pomogę.

A z jaką datą wystawiany jest rachunek, do kogo się zwrócić aby go otrzymać ?

Rachunek jest z datą tj. dniu w którym go wystawiła księgowość. Wystarczy złożyć wniosek o wystawienie rachunku z podaniem danych płatnika oraz adresu do wysłania.